Упр.1159 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В трапеции ABCD с основаниями АD=16см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4корень7 см, a угол ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?
Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CH$$ — высота трапеции.
В прямоугольном треугольнике $$CDH$$ имеем:
$$\sin 60^\circ=\frac{CH}{CD}$$
откуда
$$CH=CD\cdot \sin 60^\circ=4\sqrt7\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt{21}\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{16+8}{2}\cdot 2\sqrt{21}=24\sqrt{21}\text{ см}^2.$$
Прямая $$l$$ делит трапецию на два многоугольника равной площади, значит площадь части $$CC_1D$$ равна половине площади трапеции:
$$S_{CC_1D}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=12\sqrt{21}\text{ см}^2.$$
Так как основание $$C_1D$$ лежит на прямой $$AD$$, то для треугольника $$CC_1D$$ можно записать:
$$S_{CC_1D}=\frac{1}{2}\cdot C_1D\cdot CH.$$
Подставим найденную площадь и высоту:
$$12\sqrt{21}=\frac{1}{2}\cdot C_1D\cdot 2\sqrt{21},$$
откуда
$$C_1D=12\text{ см}.$$
Теперь найдём длину отрезка $$CC_1$$ по теореме косинусов в треугольнике $$CC_1D$$:
$$CC_1^2=CD^2+C_1D^2-2\cdot CD\cdot C_1D\cdot \cos 60^\circ.$$
Подставим значения:
$$CC_1^2=(4\sqrt7)^2+12^2-2\cdot 4\sqrt7\cdot 12\cdot \frac{1}{2}$$
$$CC_1^2=112+144-48\sqrt7=256-48\sqrt7.$$
Следовательно,
$$CC_1=\sqrt{256-48\sqrt7}=4\sqrt{16-3\sqrt7}\approx 11{,}35\text{ см}.$$
Ответ
$$S_{ABCD}=24\sqrt{21}\text{ см}^2,$$ $$CC_1\approx 11{,}35\text{ см}.$$
