Упр.1157 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: При каком значении x векторы р = ха + 17b и q = 3a-b перпендикулярны, если |а| = 2, |b | = 5 и а b = 120°? Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Подробный ответ

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, поэтому найдём $$\vec p \cdot \vec q$$.

$$ \vec p \cdot \vec q=(x\vec a+17\vec b)\cdot(3\vec a-\vec b) $$
$$ =3x\,\vec a\cdot\vec a-x\,\vec a\cdot\vec b+51\,\vec b\cdot\vec a-17\,\vec b\cdot\vec b. $$

Так как $$|\vec a|=2,$$ $$|\vec b|=5,$$ $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ,$$ то

$$ \vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2=4,\qquad \vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2=25, $$
$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos 120^\circ=2\cdot 5\cdot\left(-\frac12\right)=-5. $$

Подставим:

$$ \vec p \cdot \vec q=3x\cdot 4-x\cdot(-5)+51\cdot(-5)-17\cdot 25 $$
$$ =12x+5x-255-425=17x-680. $$

Так как $$\vec p \perp \vec q,$$ то $$\vec p \cdot \vec q=0$$. Следовательно,

$$ 17x-680=0, $$
$$ 17x=680, $$
$$ x=\frac{680}{17}=40. $$

Докажем, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого.

Пусть в параллелограммах $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ выполнено:

$$ AB=A_1B_1,\qquad AD=A_1D_1,\qquad \angle A=\angle A_1. $$

Проведём диагонали $$BD$$ и $$B_1D_1$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$.

В них:

$$ AB=A_1B_1,\qquad AD=A_1D_1,\qquad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1. $$

Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Тогда соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, в частности:

$$ BD=B_1D_1,\qquad \angle ABD=\angle A_1B_1D_1,\qquad \angle ADB=\angle A_1D_1B_1. $$

Но в параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому

$$ BC\parallel AD,\qquad CD\parallel AB, $$
$$ B_1C_1\parallel A_1D_1,\qquad C_1D_1\parallel A_1B_1. $$

Следовательно, углы и стороны второго треугольника при вершинах $$B$$ и $$D$$ соответствуют углам и сторонам первого, а значит, параллелограммы имеют равные соответствующие стороны и равные углы. Поэтому

$$ ABCD \cong A_1B_1C_1D_1. $$

Итак, параллелограммы равны.