Упр.1155 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите длину вектора $$\mathbf{a}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}$$, где $$\mathbf{i}$$ и $$\mathbf{j}$$ — координатные векторы.
$$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.

Подробный ответ

Пусть существует движение, при котором $$A\mapsto A_1,\; B\mapsto B_1,\; C\mapsto C_1.$$ Тогда оно сохраняет расстояния, значит

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам.

Докажем, что такое движение единственно. Предположим, что есть ещё одно движение, переводящее $$A,B,C$$ в $$A_1,B_1,C_1.$$ Тогда композиция одного из этих движений с обратным к другому оставляет неподвижными точки $$A_1,\;B_1,\;C_1.$$ Но движение, имеющее три неподвижные точки, является тождественным: иначе все точки плоскости, лежащие на прямых, проходящих через эти неподвижные точки, также должны были бы оставаться на месте, что невозможно для ненулевого движения.

Значит, движение, переводящее $$A$$ в $$A_1,$$ $$B$$ в $$B_1,$$ $$C$$ в $$C_1,$$ существует не более одного.