Упр.1154 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29},$$
$$BC=\sqrt{(1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$
Наибольшая сторона — $$AB$$, значит, против неё лежит наибольший угол $$\angle C$$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C.$$
Подставим найденные значения:
$$29=2+17-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \cos \angle C,$$
$$29=19-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$10=-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}.$$
Так как $$\cos \angle C<0$$, то угол $$\angle C$$ тупой. Следовательно, треугольник $$ABC$$ тупоугольный.
Докажем, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
При таком отображении любая точка переходит в саму себя, значит, расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Следовательно, это отображение является движением. По теореме о том, что каждое движение является наложением, получаем, что данное отображение — наложение.
Ответ
$$\triangle ABC$$ тупоугольный, $$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}.$$ Отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
