Упр.1152 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если угол A = а, АВ = с, АС = b. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

Обозначим $$\angle A=\alpha$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$. Так как $$AD$$ — биссектриса, то

$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{\alpha}{2}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}.$$

С одной стороны,

$$S_{ABC}=\frac12 ab\sin\alpha.$$

С другой стороны,

$$S_{ABD}=\frac12 \cdot c \cdot AD \cdot \sin\frac{\alpha}{2},$$

$$S_{ADC}=\frac12 \cdot b \cdot AD \cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$\frac12 ab\sin\alpha=\frac12 c\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}+\frac12 b\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$

Умножим на $$2$$ и вынесем $$AD$$ за скобки:

$$ab\sin\alpha=AD\left(c\sin\frac{\alpha}{2}+b\sin\frac{\alpha}{2}\right)=AD(c+b)\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$, получаем

$$AD=\frac{ab\sin\alpha}{(c+b)\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{ab\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{(c+b)\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{c+b}.$$

Докажем утверждения о движении.

а) Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а точки $$A_1,B_1,C_1,D_1$$ — образы точек $$A,B,C,D$$ при движении. Тогда движение сохраняет длины и параллельность, значит

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1D_1=CD,\quad D_1A_1=DA,$$

а также $$A_1B_1 \parallel C_1D_1$$ и $$B_1C_1 \parallel A_1D_1$$. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

б) Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$. Возьмём на прямой $$AD$$ точку $$K$$ так, что $$AK=BC$$. Тогда $$AK \parallel BC$$ и $$AK=BC$$, значит $$ABCK$$ — параллелограмм. Отсюда $$AB=CK$$ и $$BC=AK$$. При движении

$$A_1B_1=AB=CK=C_1K_1,$$

$$B_1C_1=BC=AK=A_1K_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1C_1K_1$$ — параллелограмм, значит $$A_1K_1 \parallel B_1C_1$$. Так как $$K_1 \in A_1D_1$$, то $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.

в) Если $$ABCD$$ — ромб, то

$$AB=BC=CD=DA.$$

Движение сохраняет длины, значит

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

г) Если $$ABCD$$ — прямоугольник, то

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

При движении сохраняются длины и углы, значит

$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1,$$

а все углы равны $$90^\circ$$. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник.

Если $$ABCD$$ — квадрат, то дополнительно $$AB=BC$$. Тогда у образа

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1,$$

и все углы прямые, значит $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.

Ответ

$$AD=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$ При движении: параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция — в трапецию, ромб — в ромб, прямоугольник — в прямоугольник, квадрат — в квадрат.