Упр.1152 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите биссектрису $$AD$$ треугольника $$ABC$$, если $$\angle A = \alpha$$, $$AB = c$$, $$AC = b$$.
Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

Подробный ответ

а) Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а при движении точки $$A,B,C,D$$ переходят в точки $$A_1,B_1,C_1,D_1$$ соответственно.

Так как движение сохраняет расстояния, то

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1D_1=CD,\quad A_1D_1=AD.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Значит,

$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ противоположные стороны попарно равны, значит, это параллелограмм.

б) Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AD \parallel BC$$. Отметим на стороне $$AD$$ точку $$K$$ так, что $$AK=BC$$.

Так как $$AK \parallel BC$$ и $$AK=BC$$, то четырёхугольник $$ABCK$$ — параллелограмм. Тогда

$$AB=CK,\quad BC=AK.$$

При движении сохраняются длины отрезков, поэтому

$$A_1B_1=AB=CK,\quad B_1C_1=BC=AK.$$

Значит, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1K_1$$ противоположные стороны попарно равны, следовательно, $$A_1B_1C_1K_1$$ — параллелограмм. Отсюда $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, а значит, образ трапеции снова является трапецией.

в) Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда

$$AB=BC=CD=DA.$$

При движении длины сохраняются, значит,

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

г) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

При движении сохраняются и длины, и углы, поэтому

$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1,$$

а также все углы четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ прямые. Значит, это прямоугольник.

Если же $$ABCD$$ — квадрат, то у него все стороны равны и все углы прямые. После движения эти свойства сохраняются, следовательно, образ квадрата — тоже квадрат.