Упр.1151 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, EF = 9,9 дм, DF= 70 см. Найдите углы треугольника. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Подробный ответ

Переведём длины в сантиметры:

$$DE=4{,}5\text{ дм}=45\text{ см},\quad EF=9{,}9\text{ дм}=99\text{ см},\quad DF=70\text{ см}.$$

Найдём угол $$\angle D$$ по теореме косинусов:

$$EF^2=DE^2+DF^2-2\cdot DE\cdot DF\cdot \cos \angle D.$$

Подставим значения:

$$99^2=45^2+70^2-2\cdot 45\cdot 70\cdot \cos \angle D,$$

$$9801=2025+4900-6300\cos \angle D,$$

$$9801=6925-6300\cos \angle D,$$

$$2876=-6300\cos \angle D,$$

$$\cos \angle D=-0{,}4565.$$

Следовательно,

$$\angle D\approx 117^\circ 10′.$$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{DE}{\sin \angle F}=\frac{EF}{\sin \angle D}.$$

Тогда

$$\sin \angle F=\frac{DE\cdot \sin \angle D}{EF}=\frac{45\cdot \sin 117^\circ 10′}{99}\approx 0{,}4044.$$

Отсюда

$$\angle F\approx 23^\circ 51′.$$

Третий угол треугольника:

$$\angle E=180^\circ-\angle D-\angle F=180^\circ-117^\circ 10′-23^\circ 51’=38^\circ 59′.$$

Докажем, что при движении параллельные прямые переходят в параллельные.

Пусть $$a\parallel b$$, а при движении $$a\to a_1$$, $$b\to b_1$$. Возьмём на прямых $$a$$ и $$b$$ отрезки $$AB$$ и $$CD$$ так, что $$AB\subset a$$, $$CD\subset b$$ и $$AB=CD$$. Так как движение сохраняет расстояния и углы, то образ четырёхугольника $$ABCD$$ — четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$, у которого

$$A_1B_1=AB=CD=C_1D_1,\qquad B_1C_1=BC=AD=A_1D_1.$$

Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм, а потому $$A_1B_1\parallel C_1D_1$$. Следовательно, образы прямых $$a_1$$ и $$b_1$$ параллельны, то есть $$a_1\parallel b_1$$.