Упр.1150 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) АВ = 5 см, АС = 7,5 см, угол A = 135°; б) АВ = 2корень2 дм, ВС — 3 дм, угол B = 45°; в) АС = 0,6 м, ВС = корень3/4дм, угол C = 150°. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол. Решение Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A1O1B1, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A1, О1, В1. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О1А1, OB = O1B1. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А101В1 равны по трём сторонам, и, следовательно, угол AOB = угол A101B1. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А101В1 развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

а) По теореме косинусов найдём сторону $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$

$$BC^2=5^2+7{,}5^2-2\cdot 5\cdot 7{,}5\cdot \cos 135^\circ$$

$$BC^2=25+56{,}25-75\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=81{,}25+37{,}5\sqrt2$$

$$BC\approx 11{,}59\text{ см}$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$7{,}5^2=5^2+11{,}59^2-2\cdot 5\cdot 11{,}59\cdot \cos B$$

$$56{,}25=25+134{,}28-115{,}9\cos B$$

$$115{,}9\cos B=103{,}03$$

$$\cos B\approx 0{,}88895$$

$$\angle B\approx 27^\circ 15’$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(135^\circ+27^\circ 15′)=17^\circ 45’$$

б) Сначала найдём сторону $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$AC^2=(2\sqrt2)^2+3^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \cos 45^\circ$$

$$AC^2=8+9-12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=17-12=5$$

$$AC=\sqrt5\text{ дм}$$

Теперь найдём угол $$C$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$

$$8=5+9-2\cdot \sqrt5\cdot 3\cdot \cos C$$

$$8=14-6\sqrt5\cos C$$

$$6\sqrt5\cos C=6$$

$$\cos C=\frac{1}{\sqrt5}$$

$$\angle C\approx 63^\circ 26’$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-(45^\circ+63^\circ 26′)=71^\circ 34’$$

в) Переведём длины в одни единицы: $$AC=0{,}6\text{ м}=6\text{ дм}$$, $$BC=\frac{\sqrt3}{4}\text{ дм}$$.

Найдём сторону $$AB$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$

$$AB^2=6^2+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos 150^\circ$$

$$AB^2=36+\frac{3}{16}-3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

$$AB^2=36+\frac{3}{16}+\frac{9}{2}=40{,}6875$$

$$AB\approx 6{,}38\text{ дм}$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$36=40{,}6875+\frac{3}{16}-2\cdot 6{,}38\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos B$$

$$\cos B\approx 0{,}8796$$

$$\angle B\approx 28^\circ 24’$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-(150^\circ+28^\circ 24′)=1^\circ 36’$$

Ответ

а) $$BC\approx 11{,}59\text{ см},\ \angle B\approx 27^\circ 15′,\ \angle C\approx 17^\circ 45’$$.

б) $$AC=\sqrt5\text{ дм},\ \angle A\approx 71^\circ 34′,\ \angle C\approx 63^\circ 26’$$.

в) $$AB\approx 6{,}38\text{ дм},\ \angle A\approx 1^\circ 36′,\ \angle B\approx 28^\circ 24’$$.