Упр.115 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AM$$ — медиана, а $$BM$$ — высота. Тогда точка $$M$$ лежит на стороне $$AC$$, причём $$AM=MC$$, так как $$AM$$ — медиана.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CBM$$. У них:

$$AM=MC$$;
$$BM$$ — общая сторона;
$$\angle AMB=\angle CMB=90^\circ$$, так как $$BM$$ — высота.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CBM$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AB=BC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Теперь докажем второе утверждение. Обозначим углы треугольника так, как на рисунке: $$\angle 1=\angle B$$, $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$ — части угла $$\angle A$$, а $$\angle 4=\angle C$$.

Из равенства треугольников $$ABM$$ и $$CBM$$ получаем:

$$\angle 1=\angle 4,$$

а также $$\angle 2=\angle 3.$$

Тогда

$$\angle A=\angle 2+\angle 3=\angle 1+\angle 3,$$

то есть один из углов треугольника равен сумме двух других его углов.