Упр.1148 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

Подробный ответ

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$

Для каждого из них используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$\begin{aligned} S_{AOB}&=\frac12\,OA\cdot OB\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12\,OA\cdot OB\sin\alpha,\\ S_{BOC}&=\frac12\,OB\cdot OC\sin\alpha,\\ S_{COD}&=\frac12\,OC\cdot OD\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12\,OC\cdot OD\sin\alpha,\\ S_{DOA}&=\frac12\,OD\cdot OA\sin\alpha. \end{aligned}$$

Складывая, получаем:

$$\begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12\sin\alpha\,(OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot OA)\\ &=\frac12\sin\alpha\,(OB+OD)(OA+OC)\\ &=\frac12\,BD\cdot AC\cdot \sin\alpha. \end{aligned}$$

Итак, площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.