Упр.1148 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$ через $$O$$. Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}.$$

Пусть $$\angle AOC=\alpha$$ — угол между диагоналями. Тогда смежный с ним угол равен $$180^\circ-\alpha$$. Используем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$$ S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12\cdot OA\cdot OB\sin\alpha, $$
$$ S_{BOC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\sin\alpha, $$
$$ S_{COD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12\cdot OC\cdot OD\sin\alpha, $$
$$ S_{AOD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\sin\alpha. $$

Складываем:

$$ \begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12\sin\alpha\,(OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OA\cdot OD)\\ &=\frac12\sin\alpha\,(OB+OD)(OA+OC). \end{aligned} $$

Но $$OB+OD=BD$$, а $$OA+OC=AC$$. Значит,

$$ S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot \sin\alpha. $$

Докажем теперь свойства осевой симметрии.

а) Пусть прямая $$a$$ параллельна оси симметрии $$l$$. Возьмём на $$a$$ любые точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы при симметрии через $$A’$$ и $$B’$$. Тогда $$AA’\perp l$$ и $$BB’\perp l$$, а значит, $$AA’\parallel BB’$$. Кроме того, расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до оси $$l$$ равны их образам, поэтому $$AA’=BB’$$. Следовательно, четырёхугольник $$AA’B’B$$ — прямоугольник, откуда $$A’B’\parallel AB$$. Так как $$AB\subset a$$, то образ прямой $$a$$ — прямая $$a’$$, параллельная $$a$$, а значит, и параллельная оси $$l$$.

б) Пусть прямая $$a$$ перпендикулярна оси симметрии $$l$$. Возьмём любую точку $$A\in a$$ и обозначим её образ через $$A’$$. Тогда $$AA’\perp l$$. Но прямая $$a$$ тоже перпендикулярна $$l$$ и проходит через точку $$A$$, значит, точки $$A$$ и $$A’$$ лежат на одной прямой $$a$$. Следовательно, каждая точка прямой $$a$$ переходит в точку этой же прямой, то есть прямая $$a$$ отображается на себя.

Ответ

$$S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$
При осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси симметрии, переходит в прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная оси симметрии, отображается на себя.