Упр.1146 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC АВ = AC = b, угол A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС. Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — основание высоты $$AD$$, а $$E$$ — основание высоты $$BE$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Так как $$\angle A=30^\circ$$, то

$$\angle ABE=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, значит

$$BE=\frac12 AB=\frac b2.$$

Найдём $$AE$$ по теореме Пифагора:

$$ AE=\sqrt{AB^2-BE^2} =\sqrt{b^2-\frac{b^2}{4}} =\sqrt{\frac{3b^2}{4}} =\frac{b\sqrt3}{2}. $$

Так как $$AC=b$$, то

$$ EC=AC-AE=b-\frac{b\sqrt3}{2} =\frac{b(2-\sqrt3)}{2}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$EBC$$:

$$ BC=\sqrt{BE^2+EC^2} =\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{b^2(2-\sqrt3)^2}{4}}. $$

Тогда

$$ BC=\sqrt{\frac{b^2+\;b^2(4-4\sqrt3+3)}{4}} =\sqrt{\frac{8b^2-4\sqrt3\,b^2}{4}} =\sqrt{b^2(2-\sqrt3)} =b\sqrt{2-\sqrt3}. $$

Найдём высоту $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ADC$$:

$$ AD=\sqrt{AC^2-CD^2}. $$

Так как $$CD=BC=b\sqrt{2-\sqrt3}$$, то

$$ AD=\sqrt{b^2-b^2(2-\sqrt3)} =\sqrt{b^2(\sqrt3-1)}. $$

Удобнее записать через полученное выражение:

$$ AD=\frac{b\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. $$

Итак, получаем:

$$ BE=\frac b2,\qquad AE=\frac{b\sqrt3}{2},\qquad EC=\frac{b(2-\sqrt3)}{2},\qquad BC=b\sqrt{2-\sqrt3},\qquad AD=\frac{b\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. $$

Для построения правильного треугольника около данной окружности достаточно провести три касательные к окружности под углами $$120^\circ$$ друг к другу; точки касания дадут вершины правильного треугольника.

Для построения правильного шестиугольника около данной окружности проводят шесть касательных, расположенных через равные углы $$60^\circ$$; точки касания образуют вершины правильного шестиугольника.