Упр.1144 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
2. Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Обозначим вершины равнобедренного треугольника так, что $$AB=BC,$$ а основание — $$AC.$$ Пусть $$AA_1$$ и $$CC_1$$ — медианы, проведённые к боковым сторонам $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. По условию $$AA_1 \perp CC_1.$$

Введём векторы: $$\overrightarrow{CA_1}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{CB_1}=\vec b,$$ где $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$. Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-2\vec b,$$

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-2\vec a.$$

Так как медианы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0.$$

Раскроем скалярное произведение:

$$(\vec a-2\vec b)(\vec b-2\vec a)=\vec a\cdot \vec b-2\vec a\cdot \vec a-2\vec b\cdot \vec b+4\vec a\cdot \vec b$$
$$=5\vec a\cdot \vec b-2\vec a^2-2\vec b^2.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC,$$ значит соответствующие векторы имеют равные длины: $$|\vec a|=|\vec b|.$$ Обозначим эту длину через $$a$$. Тогда

$$\vec a\cdot \vec b=a^2\cos \angle C,\qquad \vec a^2=\vec b^2=a^2.$$

Подставим в равенство:

$$5a^2\cos \angle C-4a^2=0,$$

$$\cos \angle C=\frac45.$$

Следовательно,

$$\angle C=\arccos \frac45 \approx 36^\circ52′.$$

Ответ: $$36^\circ52′.$$