Упр.1143 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), то $$4AM^2=AB^2+AC^2+2AB\cdot AC\cdot\cos A.$$ Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$. Тогда $$\triangle AHC \sim \triangle CHB$$, а коэффициент подобия этих треугольников равен $$k$$.
Обозначим радиусы вписанных окружностей в треугольники $$AHC$$ и $$CHB$$ через $$r_1$$ и $$r_2$$ соответственно, а длины их окружностей — через $$C_1$$ и $$C_2$$.
Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2.$$
С другой стороны, площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности:
$$S_{AHC}=\frac12 P_{AHC}\cdot r_1,$$
$$S_{CHB}=\frac12 P_{CHB}\cdot r_2.$$
Так как треугольники подобны, то их периметры относятся как коэффициент подобия:
$$\frac{P_{AHC}}{P_{CHB}}=k.$$
Тогда
$$k^2=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{\frac12 P_{AHC}\cdot r_1}{\frac12 P_{CHB}\cdot r_2}=k\cdot \frac{r_1}{r_2}.$$
Следовательно,
$$k=\frac{r_1}{r_2}.$$
Теперь длины окружностей:
$$C_1=2\pi r_1,\qquad C_2=2\pi r_2.$$
Значит,
$$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=k.$$
Что и требовалось доказать.
