Упр.1141 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите скалярное произведение векторов р=а-b-с и q = a-b + c, если |а| = 5, |b| = 2, | с | = 4 и а перпендикулярен b. Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

Обозначим длины дуг через $$l_1$$ и $$l_2$$.

Для первой окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного квадрата. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$90^\circ$$, а радиус окружности найдём из формулы хорды:

$$AB=2R\sin\frac{90^\circ}{2}=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$

Отсюда

$$6=R\sqrt2,\qquad R=3\sqrt2\text{ см}.$$

Дуга квадрата составляет $$\frac{3}{4}$$ окружности, значит

$$l_2=\frac{3}{4}\cdot 2\pi R=\frac{3}{4}\cdot 2\pi\cdot 3\sqrt2=\frac{9\sqrt2\pi}{2}\text{ см}.$$

Для второй окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной правильного вписанного шестиугольника. Тогда радиус этой окружности равен стороне шестиугольника:

$$R=6\text{ см}.$$

Дуга шестиугольника составляет $$\frac{5}{6}$$ окружности, поэтому

$$l_1=\frac{5}{6}\cdot 2\pi R=\frac{5}{6}\cdot 2\pi\cdot 6=10\pi\text{ см}.$$

Тогда сумма длин дуг равна

$$l_1+l_2=10\pi+\frac{9\sqrt2\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$