Упр.1140 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Известно, что ас = bс = 60°, |а|=1, |b| = |c| = 2. Вычислите (а + b)x с. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Подробный ответ

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$, а периметр правильного многоугольника — через $$P_n$$.

Площадь круга равна

$$S_{\text{кр}}=\pi r^2,$$

а длина окружности —

$$C=2\pi r.$$

Площадь правильного многоугольника с вписанной окружностью выражается формулой

$$S_n=\frac{1}{2}P_n r.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}P_n r}=\frac{2\pi r}{P_n}.$$

Но $$2\pi r=C$$, значит

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{C}{P_n}.$$