Упр.1137 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1). За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?
1) Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(8-5)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$$
$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-5)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-8)^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2}=5\sqrt{2}$$
2) Используем теорему косинусов.
Для угла $$A$$:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$
$$\left(4\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos A$$
$$32=18+50-60\cos A$$
$$60\cos A=36$$
$$\cos A=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}=0{,}6$$
Для угла $$B$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$
$$\left(5\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \cos B$$
$$50=18+32-48\cos B$$
$$48\cos B=0$$
$$\cos B=0$$
Для угла $$C$$:
$$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C$$
$$\left(3\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos C$$
$$18=32+50-80\cos C$$
$$80\cos C=64$$
$$\cos C=\frac{64}{80}=\frac{4}{5}=0{,}8$$
Ответ
$$\cos A=0{,}6,\quad \cos B=0,\quad \cos C=0{,}8.$$
