Упр.1135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что векторы $$i+j$$ и $$i-j$$ перпендикулярны, если $$i$$ и $$j$$ — координатные векторы.
2. В круг, площадь которого равна $$36\pi\ \text{см}^2$$, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.

Площадь круга равна $$36\pi\text{ см}^2$$, значит

$$\pi R^2=36\pi,$$

откуда $$R^2=36$$ и $$R=6\text{ см}.$$

В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона равна радиусу окружности, поэтому

$$a=6\text{ см}.$$

Тогда периметр шестиугольника

$$P=6a=6\cdot 6=36\text{ см}.$$

Найдём апофему (радиус вписанной окружности) правильного шестиугольника:

$$r=R\cos 30^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Площадь шестиугольника равна

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$6\text{ см},\ 54\sqrt{3}\text{ см}^2.$$