Упр.1134 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; х} перпендикулярны. Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) АА1А2В и АВА40 — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R.

Подробный ответ

1) Для перпендикулярных векторов должно выполняться условие скалярного произведения:

$$\vec a \cdot \vec b = 0.$$

Вычислим:

$$\vec a \cdot \vec b = x\cdot(-y)+y\cdot x=-xy+xy=0.$$

Следовательно, $$\vec a \perp \vec b.$$

2) Рассмотрим правильный десятиугольник $$A_1A_2\dots A_{10}$$, вписанный в окружность радиуса $$R$$, и точку $$B$$ — точку пересечения диагоналей $$A_1A_4$$ и $$A_2A_7$$.

а) Угол $$\angle A_2OA_7$$ — центральный. Так как правильный десятиугольник делит окружность на 10 равных дуг, то

$$\angle A_2OA_7=4\cdot \frac{360^\circ}{10}=144^\circ.$$

Но хорда $$A_2A_7$$ соответствует диаметру, так как точки $$A_2$$ и $$A_7$$ лежат на концах диаметра окружности. Значит,

$$A_2A_7=2R.$$

б) В правильном десятиугольнике все дуги между соседними вершинами равны:

$$\overset{\frown}{A_1A_2}=\overset{\frown}{A_2A_3}=\dots=\overset{\frown}{A_9A_{10}}=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle A_1A_2B=\angle A_4BO,$$

так как они опираются на равные дуги.

Кроме того,

$$\angle A_1=\frac12\overset{\frown}{A_1A_4}=36^\circ,$$

$$\angle A_2=\frac12\overset{\frown}{A_1A_7}=72^\circ,\qquad \angle O=\frac12\overset{\frown}{A_2A_4}=72^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A_2=\angle O.$$

Значит, треугольники $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_4BO$$ подобны по двум углам.

Оба треугольника равнобедренные: в $$\triangle A_1A_2B$$ имеем $$\angle A_2=\angle B$$, значит $$A_1A_2=A_1B$$; в $$\triangle BA_4O$$ имеем $$\angle B=\angle O$$, значит $$BA_4=A_4O$$.

в) Из равнобедренности треугольников получаем:

$$A_1A_2=A_1B,\qquad BA_4=A_4O=R.$$

Тогда

$$A_1A_4-A_1A_2=A_1A_4-A_1B=BA_4=A_4O=R.$$