Упр.1133 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если: а) а{1/4; -l}, b{2; 3}; б) а {-5; 6}, b {6; 5}; в) a {1,5; 2}, b{4;-0,5}. Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r— радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Обозначим центр окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника, через $$O$$. Тогда центральный угол, соответствующий одной стороне, равен

$$\angle A_1OA_2=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Рассмотрим диагонали $$A_1A_6$$ и $$A_2A_9$$, пересекающиеся в точке $$B$$.

Так как правильный многоугольник вписан в окружность, то дуги между соседними вершинами равны, а вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Тогда

$$\angle A_2A_1B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_2A_4A_6}=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle A_1A_2B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_1A_{11}A_9}=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle A_9A_6B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_1A_{11}A_9}=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ,$$

$$\angle A_6A_9B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_2A_4A_6}=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, в треугольниках $$A_1A_2B$$ и $$A_6A_9B$$ все углы равны $$60^\circ$$, значит, они равносторонние.

Теперь докажем, что $$A_1A_6=2r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Угол $$\angle A_1A_6A_7$$ — вписанный, поэтому

$$\angle A_1A_6A_7=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_1A_1A_2A_7}=90^\circ.$$

Аналогично

$$\angle A_{12}A_1A_6=90^\circ.$$

Значит, прямые $$A_1H_2$$ и $$A_6H_1$$, проведённые к стороне $$A_1A_6$$, перпендикулярны ей, то есть являются радиусами вписанной окружности:

$$OH_1=OH_2=r.$$

Четырёхугольник $$A_1H_2H_1A_6$$ — прямоугольник, поэтому

$$A_1A_6=H_1H_2.$$

Но

$$H_1H_2=OH_1+OH_2=2r.$$

Следовательно,

$$A_1A_6=2r.$$

Ответ

а) $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle A_6A_9B$$ — равносторонние; б) $$A_1A_6=2r$$.