Упр.1132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причём |Р| = 8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

1) Найдём величину равнодействующей силы $$R$$.

Пусть угол между силами $$P$$ и $$Q$$ равен $$120^\circ$$. Тогда по теореме косинусов для треугольника сил:

$$ R^2=P^2+Q^2+2PQ\cos 120^\circ $$

Подставим данные:

$$ R^2=8^2+15^2+2\cdot 8\cdot 15\cdot \left(-\frac12\right) $$

$$ R^2=64+225-120=169 $$

$$ R=13 $$

2) Найдём отношение периметров правильного треугольника и квадрата, вписанных в одну и ту же окружность.

Пусть радиус окружности равен $$R$$.

Сторона правильного треугольника:

$$ a_3=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3 $$

Тогда его периметр:

$$ P_3=3a_3=3R\sqrt3 $$

Сторона квадрата:

$$ a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2 $$

Тогда его периметр:

$$ P_4=4a_4=4R\sqrt2 $$

Следовательно,

$$ \frac{P_3}{P_4}=\frac{3R\sqrt3}{4R\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{8} $$

3) Найдём отношение периметров правильного треугольника и квадрата, описанных около одной и той же окружности.

Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$.

Для правильного треугольника:

$$ r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2} $$

Значит,

$$ R=2r $$

Тогда сторона треугольника:

$$ a_3=R\sqrt3=2r\sqrt3 $$

и его периметр:

$$ P_3=3a_3=6\sqrt3\,r $$

Для квадрата:

$$ r=R\cos 45^\circ=\frac{R\sqrt2}{2} $$

Отсюда

$$ R=\frac{2r}{\sqrt2}=r\sqrt2 $$

Тогда сторона квадрата:

$$ a_4=2R\sin 45^\circ=R\sqrt2=2r $$

и его периметр:

$$ P_4=4a_4=8r $$

Следовательно,

$$ \frac{P_3}{P_4}=\frac{6\sqrt3\,r}{8r}=\frac{3\sqrt3}{4} $$

Ответ

$$ R=13; \quad \text{а) } \frac{P_3}{P_4}=\frac{3\sqrt6}{8}; \quad \text{б) } \frac{P_3}{P_4}=\frac{3\sqrt3}{4} $$