Упр.1132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. К одной и той же точке приложены две силы $$P$$ и $$Q$$, действующие под углом $$120^\circ$$ друг к другу, причём $$|P|=8$$, $$|Q|=15$$. Найдите величину равнодействующей силы $$R$$.
2. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

Обозначим периметры правильного треугольника и квадрата через $$P_3$$ и $$P_4$$.

а) Фигуры вписаны в одну и ту же окружность

Пусть радиус окружности равен $$R$$.

Для правильного треугольника сторона выражается через радиус описанной окружности так:

$$a_3=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$P_3=3a_3=3R\sqrt{3}.$$

Для квадрата:

$$a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2},$$

значит

$$P_4=4a_4=4R\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{3R\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{8}.$$

б) Фигуры описаны около одной и той же окружности

Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$.

Для правильного треугольника

$$r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2},$$

откуда $$R=2r$$. Тогда

$$P_3=3a_3=3\cdot R\sqrt{3}=3\cdot 2r\sqrt{3}=6\sqrt{3}\,r.$$

Для квадрата

$$r=R\cos 45^\circ=\frac{R\sqrt{2}}{2},$$

откуда

$$R=\frac{2r}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,r.$$

Тогда

$$P_4=4a_4=4\cdot R\sqrt{2}=4\cdot \sqrt{2}r\cdot \sqrt{2}=8r.$$

Следовательно,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{6\sqrt{3}\,r}{8r}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{3\sqrt{6}}{8}$$; б) $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$.