Упр.1131 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ x АС; б) АС x СВ; в) АС x BD; г) АСx АС. Найдите периметр правильного шестиугольника -A1A2A3A4A5A6, если A1tA4 = 2,24 см.

Подробный ответ

а) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$\angle BAC=60^\circ$$ и $$AB=AC=a$$. Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\cdot|AC|\cdot\cos 60^\circ=a\cdot a\cdot \frac12=\frac{a^2}{2}.$$

б) В равностороннем треугольнике $$\angle ACB=60^\circ$$, а векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ образуют угол $$120^\circ$$. Поэтому

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}=|AC|\cdot|CB|\cdot\cos 120^\circ=a\cdot a\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac{a^2}{2}.$$

в) Высота $$BD$$ перпендикулярна стороне $$AC$$, значит угол между векторами $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ равен $$90^\circ$$. Тогда

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=|AC|\cdot|BD|\cdot\cos 90^\circ=0.$$

г) Угол между вектором и самим собой равен $$0^\circ$$, поэтому

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=|AC|^2=a^2.$$

Теперь найдём периметр правильного шестиугольника $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, если $$A_1A_4=2{,}24$$ см. Отрезок $$A_1A_4$$ — это диаметр описанной окружности, значит

$$2R=2{,}24,\qquad R=1{,}12\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

$$a_6=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2\cdot 1{,}12\cdot \sin 30^\circ=1{,}12\text{ см}.$$

Тогда периметр

$$P=6a_6=6\cdot 1{,}12=6{,}72\text{ см}.$$