Упр.1130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, если $$|\vec{a}|=2$$, $$|\vec{b}|=3$$, а угол между ними равен: а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$135^\circ$$.
2. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3\ \text{дм}$$, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a_3$$. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R=3$$ дм, имеем

$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2\cdot 3\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ дм}.$$

Это и есть сторона квадрата.

Теперь найдём радиус окружности, описанной около квадрата. Если сторона квадрата равна $$a_4$$, то

$$a_4=2R_{\text{кв}}\sin\frac{180^\circ}{4}=2R_{\text{кв}}\sin 45^\circ=2R_{\text{кв}}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=R_{\text{кв}}\sqrt2.$$

Так как $$a_4=3\sqrt3$$, получаем

$$3\sqrt3=R_{\text{кв}}\sqrt2,$$

откуда

$$R_{\text{кв}}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{2}\text{ дм}.$$

Ответ: $$\frac{3\sqrt6}{2}\text{ дм}$$.