Упр.113 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что уголOMP = уголOPM; б) найдите уголNOM, если уголMOP= 105°.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$MNO$$ и $$PQO$$. По условию $$MN=PQ$$, $$NO=OQ$$, а углы $$\angle MNO$$ и $$\angle PQO$$ равны $$90^\circ$$, так как $$MN \perp b$$ и $$PQ \perp b$$.

Следовательно, $$\triangle MNO \cong \triangle PQO$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$MO=OP$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$OMP$$. В нём $$MO=OP$$, поэтому $$\triangle OMP$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle OMP=\angle OPM.$$

б) Так как точки $$N, O, Q$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle MON$$ и $$\angle MOQ$$ смежные. Кроме того, из равенства треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$ следует, что $$\angle MON=\angle POQ$$.

Поскольку $$\angle MOP=105^\circ$$, а луч $$ON$$ лежит на прямой $$b$$, получаем:

$$\angle MON+\angle MOP+\angle POQ=180^\circ.$$

Так как $$\angle MON=\angle POQ$$, имеем:

$$ 2\angle MON+105^\circ=180^\circ \\ 2\angle MON=75^\circ \\ \angle MON=37^\circ 30′ $$

Угол $$\angle NOM$$ равен углу $$\angle MON$$, значит:

$$\angle NOM=37^\circ 30′.$$