Упр.1129 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?

Диагонали ромба пересекаются и делят друг друга пополам, а в ромбе все стороны равны. По условию $$BD=BC$$. Так как в ромбе $$BC=CD=DA=AB$$, то получаем

$$BD=BC=CD=DA=AB.$$

Значит, треугольник $$BCD$$ равносторонний, а треугольник $$ABD$$ тоже равносторонний.

Тогда:

а) угол между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ равен $$60^\circ$$;

б) вектор $$\overrightarrow{DA}$$ противоположен вектору $$\overrightarrow{AD}$$, поэтому

$$\angle\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}\bigr)=180^\circ-60^\circ=120^\circ;$$

в) вектор $$\overrightarrow{BA}$$ противоположен вектору $$\overrightarrow{AB}$$, значит

$$\angle\bigl(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AD}\bigr)=180^\circ-60^\circ=120^\circ;$$

г) диагонали ромба перпендикулярны, следовательно

$$\angle\bigl(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\bigr)=90^\circ;$$

д) снова получаем угол между противоположными направлениями:

$$\angle\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}\bigr)=120^\circ;$$

е) в равностороннем треугольнике $$BCD$$ векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ направлены противоположно, поэтому

$$\angle\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\bigr)=180^\circ.$$

Для правильного многоугольника внешний угол равен $$\alpha=\dfrac{360^\circ}{n}$$, где $$n$$ — число сторон. Тогда

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}.$$

а) $$n=\frac{360^\circ}{18^\circ}=20;$$

б) $$n=\frac{360^\circ}{40^\circ}=9;$$

в) $$n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5;$$

г) $$n=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6.$$

Ответ

1) а) $$60^\circ$$; б) $$120^\circ$$; в) $$120^\circ$$; г) $$90^\circ$$; д) $$120^\circ$$; е) $$180^\circ$$.

2) а) $$20$$; б) $$9$$; в) $$5$$; г) $$6$$.