Упр.1128 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали квадрата $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$; б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; в) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; г) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; д) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$; е) $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$; ж) $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$; з) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$.
Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна $$a$$. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Подробный ответ

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда его площадь

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Каждая из четырёх закрашенных частей — это сектор круга радиуса $$\frac{a}{2}$$ с центральным углом $$90^\circ$$. Поэтому площадь одного сектора равна

$$S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2}{4}=\frac{\pi a^2}{16}.$$

Тогда площадь всех четырёх закрашенных частей:

$$S_{\text{закр}}=4S_1=4\cdot \frac{\pi a^2}{16}=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Искомая площадь незакрашенной фигуры:

$$S_{\text{ост}}=S_{ABCD}-S_{\text{закр}}=a^2-\frac{\pi a^2}{4}=\frac{4a^2-\pi a^2}{4}=a^2\cdot \frac{4-\pi}{4}.$$

Ответ: $$a^2\cdot \frac{4-\pi}{4}.$$