Упр.1127 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы. Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.
1) Обозначим через $$A$$ предмет у подножия горы, через $$C$$ — основание башни, через $$B$$ — её вершину. Тогда $$BC=100\text{ м}$$, $$\angle DCA=30^\circ$$, $$\angle ABE=60^\circ$$, где прямая $$BE$$ параллельна горизонту, а точка $$D$$ — пересечение луча зрения из $$B$$ с горизонталью через $$C$$.
По свойству прямоугольного треугольника:
$$\angle CBD=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$
следовательно,
$$\angle BDC=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Так как смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, то
$$\angle CDA=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
2) Рассмотрим треугольник $$DAC$$:
$$\angle DAC=180^\circ-(120^\circ+30^\circ)=30^\circ.$$
Значит, $$\angle DCA=\angle DAC=30^\circ$$, поэтому треугольник $$DAC$$ равнобедренный, и
$$CD=DA.$$
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKA$$, где $$K$$ — основание перпендикуляра из $$C$$ на горизонталь через $$A$$. Тогда
$$\angle ACK=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$$
следовательно,
$$\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
4) В треугольнике $$BCA$$ имеем
$$\angle CBA=\angle BAC=30^\circ,$$
значит, треугольник $$BCA$$ равнобедренный, и
$$BC=CA=100\text{ м}.$$
5) Тогда в прямоугольном треугольнике $$CKA$$
$$CK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 100=50\text{ м}.$$
Следовательно, высота горы равна $$50\text{ м}$$.
Ответ
$$50\text{ м}$$
Ход решения
Площадь сектора с центральным углом $$72^\circ$$ равна
$$S=\frac{72^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{\pi R^2}{5}.$$
По условию $$S_{AOB}=S$$, значит
$$S=\frac{\pi R^2}{5}.$$
Тогда
$$R^2=\frac{5S}{\pi},$$
откуда
$$R=\sqrt{\frac{5S}{\pi}}.$$
Ответ
$$R=\sqrt{\frac{5S}{\pi}}$$
