Упр.1125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни? На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Решение

Обозначим через $$D$$ точку на уровне глаз наблюдателя, лежащую на горизонтали через основание башни $$C$$, а через $$B$$ — вершину башни. Тогда $$DC=50$$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$. Угол возвышения на вершину башни равен $$45^\circ$$, значит

$$\angle B=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=45^\circ$$, и треугольник $$ADB$$ равнобедренный. Поэтому

$$AD=DB=50\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. Угол наклона на основание башни равен $$2^\circ$$, значит

$$\angle DCA=90^\circ-2^\circ=88^\circ,$$

а для угла $$\angle DAC$$ имеем

$$\tg \angle DAC=\frac{DC}{AD}.$$

Тогда

$$DC=AD\cdot \tg 2^\circ=50\cdot \tg 2^\circ\approx 50\cdot 0{,}035=1{,}75\text{ м}.$$

Высота башни равна

$$BC=BD+DC=50+1{,}75=51{,}75\text{ м}.$$

Ответ

$$51{,}75\text{ м}.$$

Решение

Пусть $$R_1, R_2, R_3$$ — радиусы полукругов, построенных на сторонах $$AB, AC, CB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$.

Площадь полукруга с диаметром $$d$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{8}.$$

Значит,

$$S_{AB}=\frac{\pi AB^2}{8},\qquad S_{AC}=\frac{\pi AC^2}{8},\qquad S_{CB}=\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

То есть

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}.$$

Ответ

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.