Упр.1124 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В окружности проведены хорды $$AB$$ и $$CD$$, пересекающиеся в точке $$E$$. Найдите острый угол между этими хордами, если $$AB=13\text{ см}$$, $$CE=9\text{ см}$$, $$ED=4\text{ см}$$ и расстояние между точками $$B$$ и $$D$$ равно $$4\sqrt{3}\text{ см}$$.
- На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны $$1$$, $$2$$, $$3$$ и $$4$$. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.
Пусть $$AE=x,$$ тогда $$EB=13-x.$$
По свойству пересекающихся хорд:
$$AE\cdot EB=CE\cdot ED.$$
Тогда
$$x(13-x)=9\cdot 4=36,$$
$$x^2-13x+36=0,$$
$$x_1+x_2=13,\quad x_1x_2=36.$$
Отсюда $$x_1=4,\; x_2=9,$$ значит, $$EB=9$$ или $$EB=4.$$
Рассмотрим треугольник $$DEB.$$
Если $$EB=4,$$ то треугольник $$DEB$$ равнобедренный, и по теореме косинусов:
$$BD^2=DE^2+EB^2-2\cdot DE\cdot EB\cos\angle DEB,$$
$$\left(4\sqrt3\right)^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos\angle DEB,$$
$$48=32-32\cos\angle DEB,$$
$$\cos\angle DEB=-\frac12,$$
$$\angle DEB=120^\circ.$$
Если $$EB=9,$$ то
$$BD^2=DE^2+EB^2-2\cdot DE\cdot EB\cos\angle DEB,$$
$$\left(4\sqrt3\right)^2=4^2+9^2-2\cdot 4\cdot 9\cos\angle DEB,$$
$$48=16+81-72\cos\angle DEB,$$
$$72\cos\angle DEB=49,$$
$$\cos\angle DEB=\frac{49}{72},$$
$$\angle DEB\approx 47^\circ 7′.$$
Таким образом, острый угол между хордами равен $$47^\circ 7′.$$
Ответ
$$47^\circ 7′.$$
