Упр.1115 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольнике ABC AC =12 cm,угол A = 75°, угол C = 60°. Найдите АВ и SABC. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

Подробный ответ

1) Найдём третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-(\angle A+\angle C)=180^\circ-(75^\circ+60^\circ)=45^\circ.$$

2) По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin 60^\circ}=\frac{AC}{\sin 45^\circ}.$$

Тогда

$$AB=AC\cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=12\cdot \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=12\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}=6\sqrt6\ \text{см}.$$

3) Найдём площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 75^\circ.$$

Подставим найденное значение $$AB$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 6\sqrt6\cdot 12\cdot \sin 75^\circ=36\sqrt6\cdot \sin 75^\circ.$$

Так как $$\sin 75^\circ\approx 0{,}966,$$ получаем

$$S_{ABC}\approx 36\sqrt6\cdot 0{,}966\approx 85{,}2\ \text{см}^2.$$

4) Площадь круга вычисляется по формуле $$S=\pi R^2$$.

а) Если радиус увеличить в $$k$$ раз, то $$R_1=kR$$, и

$$S_1=\pi (kR)^2=k^2\pi R^2.$$

Значит, площадь увеличится в $$k^2$$ раз.

б) Если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то $$R_2=\frac{R}{k}$$, и

$$S_2=\pi \left(\frac{R}{k}\right)^2=\frac{\pi R^2}{k^2}.$$