Упр.1105 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА = 3, a = 45°; б) ОА = 1,5, a = 90°; в) ОА = 5, a =150°; г) ОА = 1, а= 180°; д) ОА = 2, а = 30°. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведённой к основанию.

а) Для точки $$A$$ с полярным углом $$\alpha$$ и расстоянием до начала координат $$OA$$ имеем:

$$x=OA\cdot \cos\alpha,\qquad y=OA\cdot \sin\alpha.$$

При $$OA=3,\ \alpha=45^\circ$$:

$$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$

$$x=3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2},\qquad y=3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Значит, $$A\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right).$$

б) При $$OA=1{,}5,\ \alpha=90^\circ$$:

$$\cos90^\circ=0,\qquad \sin90^\circ=1,$$

$$x=1{,}5\cdot 0=0,\qquad y=1{,}5\cdot 1=1{,}5.$$

Следовательно, $$A(0;1{,}5).$$

в) При $$OA=5,\ \alpha=150^\circ$$:

$$\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin150^\circ=\frac12,$$

$$x=5\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{5\sqrt3}{2},\qquad y=5\cdot \frac12=\frac52.$$

Значит, $$A\left(-\frac{5\sqrt3}{2};\frac52\right).$$

г) При $$OA=1,\ \alpha=180^\circ$$:

$$\cos180^\circ=-1,\qquad \sin180^\circ=0,$$

$$x=1\cdot (-1)=-1,\qquad y=1\cdot 0=0.$$

Следовательно, $$A(-1;0).$$

д) При $$OA=2,\ \alpha=30^\circ$$:

$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin30^\circ=\frac12,$$

$$x=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\qquad y=2\cdot \frac12=1.$$

Значит, $$A(\sqrt3;1).$$

Теперь найдём длину окружности, вписанной в каждую фигуру.

а) В квадрате со стороной $$a$$ диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, значит

$$r=\frac a2,\qquad C=2\pi r=2\pi\cdot \frac a2=\pi a.$$

б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$c$$ катеты равны $$\frac{c}{\sqrt2}$$. Для радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Тогда

$$r=\frac{\frac{c}{\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}-c}{2}=\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi r=\pi c(\sqrt2-1).$$

в) В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$\alpha$$ катеты равны:

$$a=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{c(\sin\alpha+\cos\alpha-1)}{2}.$$

Значит,

$$C=2\pi r=\pi c(\sin\alpha+\cos\alpha-1).$$

г) В равнобедренном треугольнике с углом при основании $$\alpha$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию, пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$OH=r$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$\tg\alpha=\frac{BH}{AH} \Rightarrow AH=\frac{h}{\tg\alpha}.$$

Так как $$AO$$ — биссектриса, то $$\angle OAH=\frac{\alpha}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH} \Rightarrow r=OH=AH\cdot \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{\tg\alpha}\tg\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, длина окружности равна

$$C=2\pi r=\frac{2\pi h\,\tg\frac{\alpha}{2}}{\tg\alpha}.$$

Ответ

а) $$A\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right);$$ б) $$A(0;1{,}5);$$ в) $$A\left(-\frac{5\sqrt3}{2};\frac52\right);$$ г) $$A(-1;0);$$ д) $$A(\sqrt3;1).$$

а) $$C=\pi a;$$ б) $$C=\pi c(\sqrt2-1);$$ в) $$C=\pi c(\sin\alpha+\cos\alpha-1);$$ г) $$C=\dfrac{2\pi h\,\tg\frac{\alpha}{2}}{\tg\alpha}.$$