Упр.1104 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте угол А, если: а) sin А = 2/3; б) cos А = 3/4; в) cos А = -2/5 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом ос между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24корень3 см2.

а) Построим единичную окружность и отложим на ней угол $$A$$ так, чтобы его синус был равен $$\frac{2}{3}$$. Тогда для точки на единичной окружности имеем координаты $$\left(\cos A,\sin A\right)$$, а значит

$$ \sin^2 A+\cos^2 A=1 $$
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2+\cos^2 A=1 $$
$$ \cos^2 A=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9} $$
$$ \cos A=\frac{\sqrt5}{3} $$

Так как $$\sin A>0$$ и $$\cos A>0$$, угол $$A$$ острый.

б)

$$ \cos^2 A+\sin^2 A=1 $$
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^2+\sin^2 A=1 $$
$$ \sin^2 A=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} $$
$$ \sin A=\frac{\sqrt7}{4} $$

Следовательно, угол $$A$$ острый.

в)

$$ \cos^2 A+\sin^2 A=1 $$
$$ \left(-\frac{2}{5}\right)^2+\sin^2 A=1 $$
$$ \sin^2 A=1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25} $$
$$ \sin A=\frac{\sqrt{21}}{5} $$

Так как $$\cos A<0$$, угол $$A$$ тупой.

Длина окружности, описанной около треугольника или многоугольника:

а) Для правильного треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен

$$ R=\frac{a}{\sqrt3} $$

Тогда

$$ C=2\pi R=2\pi\cdot\frac{a}{\sqrt3}=\frac{2\pi a\sqrt3}{3} $$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности:

$$ AB=\sqrt{a^2+b^2},\qquad R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} $$

$$ C=2\pi R=2\pi\cdot\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\pi\sqrt{a^2+b^2} $$

в) В равнобедренном треугольнике с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$ опустим высоту к основанию. Тогда половина основания равна $$\frac{a}{2}$$, а высота:

$$ BH=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2} $$

Для радиуса описанной окружности получаем

$$ R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}} $$

Следовательно,

$$ C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}} $$

г) Пусть $$\alpha$$ — острый угол между диагоналями прямоугольника. Тогда диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, а радиус можно выразить через сторону $$a$$:

$$ R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $$

Значит, длина окружности равна

$$ C=2\pi R=\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}} $$

д) Площадь правильного шестиугольника выражается через радиус описанной окружности формулой

$$ S=\frac{3\sqrt3}{2}R^2 $$

По условию

$$ 24\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}R^2 $$
$$ R^2=16,\qquad R=4 $$

Тогда

$$ C=2\pi R=8\pi\ \text{см} $$

Ответ

а) $$\angle A$$ острый, $$\cos A=\frac{\sqrt5}{3}$$;
б) $$\angle A$$ острый, $$\sin A=\frac{\sqrt7}{4}$$;
в) $$\angle A$$ тупой, $$\sin A=\frac{\sqrt{21}}{5}$$;
а) $$\frac{2\pi a\sqrt3}{3}$$;
б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$;
в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$;
г) $$\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$;
д) $$8\pi\ \text{см}$$.