Упр.1102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите tg а, если: а) cosa=l; б) cosa =-корень3/2; в) sina = корень2/2 и 0°<а<90°; г) sina = 3/5 и 90° < а< 180°. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$

а также формулу

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

а) $$\cos\alpha=1.$$ Тогда

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-1=0,$$

значит, $$\sin\alpha=0.$$ Следовательно,

$$\tg\alpha=\frac{0}{1}=0.$$

б) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}.$$ Тогда

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac14,$$

значит, $$\sin\alpha=\pm\frac12.$$ Поэтому

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\pm\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\mp\frac{\sqrt3}{3}.$$

Итак, $$\tg\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$$

в) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, \quad 0^\circ<\alpha<90^\circ.$$ Тогда

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac12=\frac12,$$

а так как $$0^\circ<\alpha<90^\circ,$$ то $$\cos\alpha>0,$$ значит

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

г) $$\sin\alpha=\frac35, \quad 90^\circ<\alpha<180^\circ.$$ Тогда

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},$$

а так как $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то $$\cos\alpha<0,$$ значит

$$\cos\alpha=-\frac45.$$

Следовательно,

$$\tg\alpha=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34.$$

Теперь рассмотрим длину окружности. Формула длины окружности:

$$C=2\pi R.$$

а) Если радиус увеличить в 3 раза, то

$$R_1=3R,\qquad C_1=2\pi\cdot 3R=3C.$$

Длина окружности увеличится в 3 раза.

б) Если радиус уменьшить в 2 раза, то

$$R_1=\frac{R}{2},\qquad C_1=2\pi\cdot\frac{R}{2}=\frac{C}{2}.$$

Длина окружности уменьшится в 2 раза.

в) Если радиус увеличить в $$k$$ раз, то

$$R_1=kR,\qquad C_1=2\pi\cdot kR=kC.$$

Длина окружности увеличится в $$k$$ раз.

г) Если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то

$$R_1=\frac{R}{k},\qquad C_1=2\pi\cdot\frac{R}{k}=\frac{C}{k}.$$

Длина окружности уменьшится в $$k$$ раз.

Ответ

$$\tg\alpha: \text{а) }0;\ \text{б) }\pm\frac{\sqrt3}{3};\ \text{в) }1;\ \text{г) }-\frac34.$$

Длина окружности: а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) увеличится в $$k$$ раз; г) уменьшится в $$k$$ раз.