Упр.1102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите $$\operatorname{tg}\alpha$$, если:
а) $$\cos\alpha=1$$;
б) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
в) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$;
г) $$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$ и $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$. - Как изменится длина окружности, если радиус окружности:
а) увеличить в три раза;
б) уменьшить в два раза;
в) увеличить в $$k$$ раз;
г) уменьшить в $$k$$ раз?
а) Если $$\cos \alpha = 1,$$ то по основному тригонометрическому тождеству
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,$$
получаем
$$\sin^2 \alpha = 1 — 1 = 0,$$
значит, $$\sin \alpha = 0.$$ Тогда
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0}{1} = 0.$$
б) Если $$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то
$$\sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4},$$
следовательно, $$\sin \alpha = \pm \frac{1}{2}.$$ Тогда
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \mp \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
в) Если $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$0^\circ < \alpha < 90^\circ,$$ то
$$\cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2},$$
а так как угол острый, то $$\cos \alpha > 0,$$ значит
$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1.$$
г) Если $$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$ и $$90^\circ < \alpha < 180^\circ,$$ то
$$\cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25},$$
следовательно, $$\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}.$$
Так как $$90^\circ < \alpha < 180^\circ,$$ то $$\cos \alpha < 0,$$ значит
$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}.$$
Тогда
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$\mp \frac{\sqrt{3}}{3}$$; в) $$1$$; г) $$-\frac{3}{4}$$.
