Упр.1096 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
1) Докажем формулу для медианы $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$.
Продлим медиану $$AA_1$$ за точку $$A_1$$ до точки $$A_2$$ так, чтобы $$A_1A_2=A_1A$$. Тогда четырёхугольник $$CABA_2$$ — параллелограмм, значит, $$CA_2=AB$$ и $$BA_2=AC$$.
По свойству параллелограмма диагональ выражается через стороны:
$$ AA_2^2=AC^2+AB^2+CA_2^2+BA_2^2-BC^2 $$
Так как $$CA_2=AB$$ и $$BA_2=AC$$, получаем
$$ AA_2^2=2AC^2+2AB^2-BC^2. $$
Но $$AA_2=2AA_1$$, следовательно,
$$ 4AA_1^2=2AC^2+2AB^2-BC^2, $$
откуда
$$ AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}. $$
2) Пусть две медианы треугольника равны. Например, $$AA_1=BB_1$$. Тогда по полученной формуле
$$ \frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2} = \frac12\sqrt{2BC^2+2AB^2-AC^2}. $$
Возведём в квадрат:
$$ 2AC^2+2AB^2-BC^2=2BC^2+2AB^2-AC^2. $$
После сокращения получаем
$$ 3AC^2=3BC^2, $$
то есть
$$ AC=BC. $$
Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
3) Найдём отношения площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, если их стороны равны.
Пусть общая сторона равна $$a$$.
Площадь правильного треугольника:
$$ S_3=\frac{\sqrt3}{4}a^2. $$
Площадь квадрата:
$$ S_4=a^2. $$
Площадь правильного шестиугольника равна площади 6 равносторонних треугольников со стороной $$a$$:
$$ S_6=6\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}a^2. $$
Тогда
$$ S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2. $$
Умножим на $$4$$:
$$ S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3. $$
Ответ
$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2};$$ если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный; $$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$
