Упр.1096 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ можно вычислить по формуле $$AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
- Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
Пусть сторона правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равна $$a$$.
Для правильного многоугольника с числом сторон $$n$$ и стороной $$a$$ площадь выражается через радиус описанной окружности $$R$$ и радиус вписанной окружности $$r$$ формулой
$$S=\frac12Pr,$$
где $$P$$ — периметр многоугольника.
1) Правильный треугольник.
Для него $$n=3$$, поэтому
$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$
откуда
$$R=\frac{a}{\sqrt3}.$$
Тогда
$$r=R\cos 60^\circ=\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac12=\frac{a\sqrt3}{6}.$$
Следовательно,
$$S_3=\frac12\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$
2) Квадрат.
Для квадрата $$n=4$$, значит
$$a=2R\sin 45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,$$
откуда
$$R=\frac{a}{\sqrt2}.$$
Тогда
$$r=R\cos 45^\circ=\frac{a}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{a}{2}.$$
Следовательно,
$$S_4=\frac12\cdot 4a\cdot \frac{a}{2}=a^2.$$
3) Правильный шестиугольник.
Для него $$n=6$$, поэтому
$$a=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\frac12=R,$$
то есть $$R=a$$.
Тогда
$$r=R\cos 30^\circ=a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$S_6=\frac12\cdot 6a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Теперь найдём отношение площадей:
$$S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Умножим все части на $$4$$:
$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$
Ответ: $$\sqrt3:4:6\sqrt3$$.
