Упр.1095 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) — (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Подробный ответ

Введём координаты так, чтобы параллелограмм имел вид: $$A(0;0),\ B(b;c),\ C(a+b;c),\ D(a;0),\ M(x;y).$$

Тогда по формуле расстояния между точками получаем:

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2.$$

Рассмотрим разность:

$$ \begin{aligned} (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) &= \bigl(x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2\bigr) \\ &\quad — \bigl((b-x)^2+(c-y)^2+(a-x)^2+y^2\bigr). \end{aligned} $$

Сократим одинаковые слагаемые и раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} &x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2 \\ &= x^2+\bigl(a^2+2ab+b^2-2ax-2bx+x^2\bigr) \\ &\quad -\bigl(b^2-2bx+x^2\bigr)-\bigl(a^2-2ax+x^2\bigr) \\ &= 2ab. \end{aligned} $$

Получилось число, не зависящее от положения точки $$M$$. Значит, для всех точек $$M$$ величина $$\bigl(AM^2+CM^2\bigr)-\bigl(BM^2+DM^2\bigr)$$ постоянна и равна $$2ab$$.