Упр.1093 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника равны $$17\ \text{см}$$ и $$28\ \text{см}$$, а высота, проведённая к большей из них, равна $$15\ \text{см}$$. Найдите медианы треугольника.
- Около правильного треугольника описана окружность радиуса $$R$$. Докажите, что $$R=2r$$, где $$r$$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Пусть $$AB=AC=17\text{ см}$$, $$BC=28\text{ см}$$, а высота $$BH$$, проведённая к большей стороне $$AC$$, равна $$15\text{ см}$$.
Введём координаты: $$A(0;0)$$, $$C(28;0)$$, $$B(x;15)$$, где $$x>0$$.
Из условия $$AB=17$$ получаем:
$$AB=\sqrt{x^2+15^2}=17$$
$$x^2+225=289$$
$$x^2=64,\quad x=8$$
Значит, $$B(8;15)$$.
Найдём середины сторон:
$$A_1\left(\frac{8+28}{2};\frac{15+0}{2}\right)=(18;7{,}5)$$
$$B_1\left(\frac{0+28}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(14;0)$$
$$C_1\left(\frac{0+8}{2};\frac{0+15}{2}\right)=(4;7{,}5)$$
Тогда длины медиан равны:
$$AA_1=\sqrt{(18-0)^2+(7{,}5-0)^2} =\sqrt{324+56{,}25} =\sqrt{380{,}25}=19{,}5\text{ см}$$
$$BB_1=\sqrt{(14-8)^2+(0-15)^2} =\sqrt{36+225} =\sqrt{261}=3\sqrt{29}\text{ см}$$
$$CC_1=\sqrt{(4-28)^2+(7{,}5-0)^2} =\sqrt{576+56{,}25} =\sqrt{632{,}25} =\frac{3}{2}\sqrt{281}\text{ см}$$
Ответ: $$AA_1=19{,}5\text{ см},\; BB_1=3\sqrt{29}\text{ см},\; CC_1=\frac{3}{2}\sqrt{281}\text{ см}.$$
