Упр.1092 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если: а) А (-2; 0), В (3; 3/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6); в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31). Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

Подробный ответ

Обозначим сторону правильного шестиугольника через $$a$$. Тогда его периметр равен $$6a$$, значит

$$6a=48,$$

откуда $$a=8$$ см.

Рассмотрим треугольник $$QOF$$, где $$O$$ — центр окружности, а $$Q$$ и $$F$$ — точки касания окружности со сторонами шестиугольника. Центральный угол правильного шестиугольника равен

$$\angle QOF=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$

Так как $$OQ=OF$$ как радиусы, то треугольник $$QOF$$ равнобедренный. При вершине $$O$$ угол равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle OQF=\angle OFQ=60^\circ,$$

следовательно, $$\triangle QOF$$ равносторонний. Тогда

$$QF=OQ=OF=8\text{ см}.$$

Сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

$$AB=2R.$$

Найдём радиус окружности из прямоугольного треугольника, где половина стороны шестиугольника равна $$\frac{1}{2}QF=4$$ см:

$$R=\sqrt{OQ^2-\left(\frac{1}{2}QF\right)^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда сторона квадрата

$$AB=2R=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Периметр квадрата: