Упр.1088 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и B (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O(x;y)$$. Так как окружность проходит через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2)$$, то

$$OA=OB.$$

Запишем равенство расстояний:

$$ \sqrt{(3-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(-1-x)^2+(2-y)^2}. $$

Возведём в квадрат:

$$ (3-x)^2+y^2=(-1-x)^2+(2-y)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 9-6x+x^2+y^2=1+2x+x^2+4-4y+y^2. $$

$$ 9-6x=2x-4y+5, $$

$$ 8x-4y-4=0, $$

$$ 2x-y-1=0. $$

Центр лежит на прямой $$y=x+2$$, значит координаты центра удовлетворяют системе

$$ \begin{cases} 2x-y-1=0,\\ y=x+2. \end{cases} $$

Подставим $$y=x+2$$ в первое уравнение:

$$ 2x-(x+2)-1=0, $$

$$ x=3,\qquad y=5. $$

Следовательно, $$O(3;5)$$. Найдём радиус:

$$ R=OA=\sqrt{(3-3)^2+(0-5)^2}=5. $$

Уравнение окружности:

$$ (x-3)^2+(y-5)^2=25. $$

Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, выполняются формулы:

$$ a=R\sqrt{3},\qquad r=\frac{R\sqrt{3}}{6},\qquad P=3a,\qquad S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$

Подставим значения $$R$$ из таблицы.

$$N$$	$$R$$	$$r$$	$$a_3$$	$$P$$	$$S$$
1	$$3$$	$$1{,}5$$	$$3\sqrt{3}$$	$$9\sqrt{3}$$	$$\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$$
2	$$\dfrac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$$	$$\dfrac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$$	$$2\sqrt{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}$$	$$6\sqrt{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}$$	$$10$$
3	$$4$$	$$2$$	$$4\sqrt{3}$$	$$12\sqrt{3}$$	$$12\sqrt{3}$$
4	$$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$$	$$\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$$	$$5$$	$$15$$	$$\dfrac{25\sqrt{3}}{4}$$
5	$$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$	$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$	$$2$$	$$6$$	$$\sqrt{3}$$