Упр.1087 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:
   а) $$(x-1)^2+(y+2)^2=25$$;
   б) $$x^2+(y+7)^2=1$$;
   в) $$x^2+y^2+8x-4y+40=0$$;
   г) $$x^2+y^2-2x+4y-20=0$$;
   д) $$x^2+y^2-4x-2y+1=0$$.
2. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки.

Для окружности с центром в точке $$(a;b)$$ и радиусом $$R$$ уравнение имеет вид

$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$$

Приведём данные уравнения к этому виду.

1. $$(x-1)^2+(y+2)^2=25.$$

   Это уравнение окружности, её центр $$C(1;-2)$$, радиус $$R=\sqrt{25}=5$$.

2. $$x^2+(y+7)^2=1.$$

   Это уравнение окружности, её центр $$C(0;-7)$$, радиус $$R=\sqrt{1}=1$$.

3. $$x^2+y^2+8x-4y+40=0.$$

   Сгруппируем и дополним до квадратов:

   $$x^2+8x+y^2-4y+40=0,$$

   $$(x+4)^2-16+(y-2)^2-4+40=0,$$

   $$(x+4)^2+(y-2)^2=-20.$$

   Так как $$R^2=-20<0$$, это не уравнение окружности.

4. $$x^2+y^2-2x+4y-20=0.$$

   Приведём к каноническому виду:

   $$x^2-2x+y^2+4y-20=0,$$

   $$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-20=0,$$

   $$(x-1)^2+(y+2)^2=25.$$

   Это уравнение окружности, её центр $$C(1;-2)$$, радиус $$R=5$$.

5. $$x^2+y^2-4x-2y+1=0.$$

   Приведём к каноническому виду:

   $$x^2-4x+y^2-2y+1=0,$$

   $$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1+1=0,$$

   $$(x-2)^2+(y-1)^2=4.$$

   Это уравнение окружности, её центр $$C(2;1)$$, радиус $$R=2$$.

Ответ: а), б), г), д) — уравнения окружностей; в) — не является уравнением окружности.
Центры и радиусы: а) $$C(1;-2),\ R=5$$; б) $$C(0;-7),\ R=1$$; г) $$C(1;-2),\ R=5$$; д) $$C(2;1),\ R=2$$.