Упр.1086 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача? Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают
Обозначим неизвестную вершину параллелограмма через $$C(x;y)$$, а данные вершины — $$A(-4;4)$$, $$B(-5;1)$$, $$D(-1;5)$$.
В параллелограмме противоположные стороны равны, значит
$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$
Найдём длины известных сторон:
$$AB=\sqrt{(-4+5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},$$
$$AD=\sqrt{(-4+1)^2+(4-5)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}.$$
Тогда для точки $$C(x;y)$$ получаем систему:
$$ \begin{cases} CD^2=(x+1)^2+(y-5)^2=10,\\ BC^2=(x+5)^2+(y-1)^2=10. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ (x+1)^2+(y-5)^2-(x+5)^2-(y-1)^2=0. $$
Раскроем скобки:
$$ x^2+2x+1+y^2-10y+25-x^2-10x-25-y^2+2y-1=0, $$
$$ -8x-8y+0=0, $$
$$ x+y=0. $$
Значит, $$x=-y$$. Подставим в первое уравнение:
$$ (x+1)^2+(y-5)^2=10, $$
$$ (-y+1)^2+(y-5)^2=10. $$
Раскроем скобки:
$$ (y^2-2y+1)+(y^2-10y+25)=10, $$
$$ 2y^2-12y+26=10, $$
$$ y^2-6y+8=0. $$
$$ (y-2)(y-4)=0, $$
откуда $$y=2$$ или $$y=4$$.
Если $$y=2$$, то $$x=-2$$, и получаем точку $$C(-2;2)$$.
Если $$y=4$$, то $$x=-4$$, но тогда точка $$C(-4;4)$$ совпадает с точкой $$A$$, что не подходит для вершины параллелограмма.
Следовательно, задача имеет единственное решение:
$$C(-2;2).$$
Докажем второе утверждение. В правильном многоугольнике все вершины лежат на одной окружности, а биссектрисы его углов проходят через центр этой окружности. Значит, каждая такая биссектриса лежит на прямой, соединяющей вершину с центром окружности, то есть является радиусом.
Любые две прямые, содержащие биссектрисы углов правильного многоугольника, проходят через один и тот же центр окружности. Поэтому они либо совпадают, либо пересекаются в этой точке.
Ответ
$$C(-2;2).$$ Задача имеет одно решение. Прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
