Упр.1083 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?

Найдём координаты середин сторон треугольника по формуле середины отрезка:

$$ x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2} $$

1) Для стороны $$AB$$:

$$ x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-5+3}{2}=-1,\qquad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{13+5}{2}=9 $$

Значит, $$M(-1;9)$$.

2) Для стороны $$BC$$:

$$ x_N=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{3+(-3)}{2}=0,\qquad y_N=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{5+(-1)}{2}=2 $$

Значит, $$N(0;2)$$.

3) Для стороны $$AC$$:

$$ x_K=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-5+(-3)}{2}=-4,\qquad y_K=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{13+(-1)}{2}=6 $$

Значит, $$K(-4;6)$$.

Медиана, проведённая к стороне $$AC$$, соединяет вершину $$B$$ с серединой стороны $$AC$$, то есть это отрезок $$BK$$.

Найдём его длину по формуле расстояния между точками:

$$ BK=\sqrt{(x_B-x_K)^2+(y_B-y_K)^2} =\sqrt{(3-(-4))^2+(5-6)^2} =\sqrt{7^2+(-1)^2} =\sqrt{50}=5\sqrt{2} $$

Средние линии треугольника соединяют середины двух его сторон:

$$ MN,\quad MK,\quad NK $$

Найдём их длины:

$$ MN=\sqrt{(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2} =\sqrt{(-1-0)^2+(9-2)^2} =\sqrt{1+49} =\sqrt{50}=5\sqrt{2} $$

$$ MK=\sqrt{(x_M-x_K)^2+(y_M-y_K)^2} =\sqrt{(-1-(-4))^2+(9-6)^2} =\sqrt{3^2+3^2} =\sqrt{18}=3\sqrt{2} $$

$$ NK=\sqrt{(x_N-x_K)^2+(y_N-y_K)^2} =\sqrt{(0-(-4))^2+(2-6)^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}=4\sqrt{2} $$

Для правильного $$n$$-угольника внутренний угол $$\alpha$$ выражается формулой:

$$ \alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ $$

Отсюда

$$ n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha} $$

Подставим значения угла:

$$ \alpha=60^\circ \Rightarrow n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3 $$

$$ \alpha=90^\circ \Rightarrow n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4 $$

$$ \alpha=135^\circ \Rightarrow n=\frac{360^\circ}{180^\circ-135^\circ}=\frac{360^\circ}{45^\circ}=8 $$

$$ \alpha=150^\circ \Rightarrow n=\frac{360^\circ}{180^\circ-150^\circ}=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12 $$

Ответ

а) $$M(-1;9),\ N(0;2),\ K(-4;6)$$;
б) $$BK=5\sqrt{2}$$;
в) $$MN=5\sqrt{2},\ MK=3\sqrt{2},\ NK=4\sqrt{2}$$;
правильный многоугольник имеет: а) $$3$$ стороны; б) $$4$$ стороны; в) $$8$$ сторон; г) $$12$$ сторон.