Упр.1082 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М1 (-2; 4) и М2 (6; 8). Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $$X(x;0).$$ Тогда она равноудалена от точек $$M_1(-2;4)$$ и $$M_2(6;8),$$ значит

$$XM_1=XM_2.$$

Найдём расстояния:

$$XM_1=\sqrt{(-2-x)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(-2-x)^2+16},$$

$$XM_2=\sqrt{(6-x)^2+(8-0)^2}=\sqrt{(6-x)^2+64}.$$

Приравняем их и возведём в квадрат:

$$(-2-x)^2+16=(6-x)^2+64,$$

$$x^2+4x+4+16=x^2-12x+36+64,$$

$$4x+20=-12x+100,$$

$$16x=80,$$

$$x=5.$$

Следовательно, искомая точка:

$$X(5;0).$$

Теперь найдём сумму внешних углов правильного $$n$$-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу.

Внутренний угол правильного $$n$$-угольника равен

$$\alpha=\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ.$$

Тогда внешний угол смежен с внутренним, значит

$$\beta=180^\circ-\alpha=180^\circ-\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ=\frac{360^\circ}{n}.$$

Сумма всех внешних углов равна

$$n\cdot \beta=n\cdot \frac{360^\circ}{n}=360^\circ.$$

Ответ

$$X(5;0),\quad 360^\circ.$$