Упр.1080 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17). Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.

Подробный ответ

Найдём длины сторон $$AB$$ и $$CB$$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$ AB=\sqrt{(-5-3)^2+(6-(-9))^2} =\sqrt{(-8)^2+15^2} =\sqrt{64+225} =\sqrt{289}=17 $$

$$ CB=\sqrt{(-12-3)^2+(-17-(-9))^2} =\sqrt{(-15)^2+(-8)^2} =\sqrt{225+64} =\sqrt{289}=17 $$

Получили, что $$AB=CB$$. Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Докажем второе утверждение. В правильном четырёхугольнике все стороны равны и все углы равны. Сумма внутренних углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит каждый угол равен

$$ \frac{360^\circ}{4}=90^\circ. $$

Следовательно, правильный четырёхугольник имеет все прямые углы, то есть является прямоугольником. Но у него также все стороны равны, значит это ромб. Четырёхугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом, — квадрат.