Упр.1075 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + DM2 = ВМ2 + СМ2. решак

Подробный ответ

Введём систему координат так, чтобы диагонали ромба совпали с осями координат: $$AC \subset OX,$$ $$BD \subset OY.$$ Тогда можно взять точки

$$A(-a;0),\quad C(a;0),\quad B(0;b),\quad D(0;-b),\quad M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=(x+a)^2+y^2,$$

$$DM^2=x^2+(y+b)^2,$$

$$BM^2=x^2+(y-b)^2,$$

$$CM^2=(x-a)^2+y^2.$$

По условию

$$AM^2+DM^2=BM^2+CM^2.$$

Подставим выражения:

$$ (x+a)^2+y^2+x^2+(y+b)^2=x^2+(y-b)^2+(x-a)^2+y^2. $$

Раскроем скобки и сократим одинаковые слагаемые:

$$x^2+2ax+a^2+y^2+x^2+y^2+2by+b^2=x^2+y^2-2by+b^2+x^2-2ax+a^2+y^2.$$

После сокращения получаем

$$2ax+2by=-2ax-2by,$$

откуда

$$4ax=-4by,$$

то есть

$$ax=-by.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{a}{b}x.$$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Проверим её направление: у диагонали $$AC$$ угловой коэффициент равен $$0,$$ а у диагонали $$BD$$ он не определён, значит найденная прямая является прямой, перпендикулярной диагонали $$BD$$ и проходящей через центр ромба. Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, эта прямая совпадает с диагональю $$BD$$.

Итак, множество всех точек $$M$$ — это прямая $$y=-\frac{a}{b}x,$$ то есть диагональ $$BD$$.