Упр.1074 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$(AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)=2AB^2$$.
2. Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ и $$BM=kMC$$. Докажите, что $$(1+k)^2AM^2=k^2b^2+2bc\,k\cos A+c^2$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; D(a;0),\; B(0;b),\; C(a;b),\; M(x;y).$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=x^2+(b-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$CM^2=(a-x)^2+(b-y)^2,$$
$$AB^2=b^2.$$

Подставим в данное равенство:

$$\begin{aligned} (AM^2+DM^2)-(BM^2+CM^2)&=2AB^2,\\ \bigl(x^2+y^2+(a-x)^2+y^2\bigr)-\bigl(x^2+(b-y)^2+(a-x)^2+(b-y)^2\bigr)&=2b^2. \end{aligned}$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2y^2-2(b-y)^2=2b^2.$$

Раскроем скобки:

$$2y^2-2(b^2-2by+y^2)=2b^2,$$
$$4by-2b^2=2b^2,$$
$$4by=4b^2.$$

Так как $$b\neq 0,$$ получаем

$$y=b.$$

Значит, все точки $$M$$ лежат на прямой $$y=b,$$ то есть на прямой, проходящей через точки $$B$$ и $$C$$. Следовательно, искомое множество — вся прямая $$BC$$.

Ответ

Прямая $$BC$$.