Упр.1073 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2 — AM2= 2АВ2. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (-1; 2), В (1; —2), С (2; 0), _D(1;6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.

Введём координаты: $$A(0;0),\ B(a;0),\ M(x;y).$$ Тогда

$$BM^2=(a-x)^2+y^2,$$
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$AB^2=a^2.$$

По условию

$$BM^2-AM^2=2AB^2.$$

Подставим выражения:

$$(a-x)^2+y^2-(x^2+y^2)=2a^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2-2ax+x^2-x^2=2a^2,$$
$$a^2-2ax=2a^2,$$
$$-2ax=a^2,$$
$$x=-\frac{a}{2}.$$

Значит, все точки $$M$$ имеют одну и ту же абсциссу $$x=-\frac{a}{2}$$. Следовательно, множество всех таких точек — прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину отрезка $$AB$$.

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$, где

$$A(-1;2),\ B(1;-2),\ C(2;0),\ D(1;6).$$

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AD}=(1-(-1);\ 6-2)=(2;4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2-1;\ 0-(-2))=(1;2).$$

Так как

$$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC},$$

то прямые $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Следовательно, $$ABCD$$ — трапеция, у которой основаниями являются $$AD$$ и $$BC$$.

Найдём площадь трапеции. Для этого вычислим длины оснований и высоту.

$$|AD|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},$$
$$|BC|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Высоту найдём как расстояние между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$. Удобно взять вектор

$$\overrightarrow{AC}=(2-(-1);\ 0-2)=(3;-2),$$
$$\overrightarrow{BD}=(1-1;\ 6-(-2))=(0;8).$$

Тогда

$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13},$$
$$|\overrightarrow{BD}|=8.$$

Пусть $$\alpha$$ — угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$. Тогда

$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot|BD|}=\frac{3\cdot 0+(-2)\cdot 8}{\sqrt{13}\cdot 8}=-\frac{2}{\sqrt{13}},$$

откуда

$$\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\,|AC|\cdot|BD|\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\cdot 8\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=12.$$

Ответ

Множество всех точек $$M$$ — прямая, перпендикулярная $$AB$$ и проходящая через середину $$AB$$.
$$ABCD$$ — трапеция, $$S_{ABCD}=12.$$