Упр.1072 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 — ВМ2 = k, где k — данное число. Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, угол NMQ = 4а, FQ = a. Найдите площадь данного ромба.

Обозначим $$\angle FMQ=\angle FMP=\alpha$$, так как $$MF$$ — биссектриса угла $$\angle QMP$$. Тогда

$$\angle QMP=2\alpha.$$

В треугольнике $$MQP$$ имеем $$MQ=MP$$, поскольку $$MNPQ$$ — ромб. Значит, треугольник $$MQP$$ равнобедренный, и

$$\angle MQP=\angle MPQ=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha.$$

По условию $$\angle NMQ=4\alpha$$. Тогда в ромбе соседние углы supplementary, поэтому

$$\angle QMP=180^\circ-4\alpha.$$

Но $$\angle QMP=2\alpha$$, следовательно,

$$2\alpha=180^\circ-4\alpha,$$

откуда

$$6\alpha=180^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.$$

Теперь найдём стороны ромба. В треугольнике $$MFQ$$ по теореме синусов:

$$\frac{FQ}{\sin\angle FMQ}=\frac{MF}{\sin\angle MQF}.$$

Так как $$FQ=a$$, $$\angle FMQ=\alpha$$, а $$\angle MQF=4\alpha$$, получаем

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{MF}{\sin 4\alpha},$$

откуда

$$MF=\frac{a\sin 4\alpha}{\sin\alpha}.$$

В треугольнике $$MFP$$ по теореме синусов:

$$\frac{MF}{\sin\angle MPF}=\frac{FP}{\sin\angle FMP}.$$

Здесь $$\angle MPF=\angle MPQ=\;90^\circ-\alpha$$, а $$\angle FMP=\alpha$$, значит

$$\frac{MF}{\sin(90^\circ-\alpha)}=\frac{FP}{\sin\alpha}.$$

Следовательно,

$$FP=MF\cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Подставим $$\alpha=30^\circ$$:

$$MF=\frac{a\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{a\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=a\sqrt3,$$

$$FP=a\sqrt3\cdot \frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=a.$$

Тогда

$$PQ=PF+FQ=a+a=2a.$$

Площадь ромба равна

$$S_{MNPQ}=PQ^2\sin\angle QMP.$$

Так как $$\angle QMP=2\alpha=60^\circ$$, получаем

$$S_{MNPQ}=(2a)^2\sin60^\circ=4a^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\,a^2.$$

Ответ

$$2\sqrt3\,a^2$$