Упр.1072 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки $$A$$ и $$B$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых $$AM^2-BM^2=k$$, где $$k$$ — данное число.
2. Дан ромб $$MNPQ$$. Отрезок $$MF$$ — биссектриса треугольника $$MPQ$$, угол $$NMQ=4a$$, $$FQ=a$$. Найдите площадь данного ромба.

Введём систему координат так, чтобы $$A(0,0),\; B(a,0),\; M(x,y),$$ где $$AB=a.$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,$$

$$BM^2=(x-a)^2+y^2.$$

По условию

$$AM^2-BM^2=k,$$

значит

$$x^2+y^2-\bigl((x-a)^2+y^2\bigr)=k,$$

$$x^2-x^2+2ax-a^2=k,$$

$$2ax-a^2=k,$$

$$x=\frac{a^2+k}{2a}.$$

Следовательно, все точки $$M$$ лежат на прямой

$$x=\frac{a^2+k}{2a},$$

то есть на прямой, перпендикулярной $$AB$$. Если $$a^2+k=0,$$ то эта прямая совпадает с осью $$OY.$$

Ответ: множество всех точек $$M$$ — прямая, перпендикулярная $$AB$$.