Упр.1070 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, длина которого равна $$2$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых: а) $$AM^2+BM^2+CM^2=50$$; б) $$AM^2+2BM^2+3CM^2=4$$.
- В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=16\text{ см}$$ и $$BC=8\text{ см}$$ боковая сторона равна $$4\sqrt{7}\text{ см}$$, а угол $$ADC=60^\circ$$. Через вершину $$C$$ проведена прямая $$l$$, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой $$l$$, заключённого внутри трапеции.
Пусть $$C_1$$ — точка пересечения прямой $$l$$ с основанием $$AD$$. Тогда площадь трапеции равна сумме площадей треугольников $$ABC_1$$ и $$CC_1D$$, причём по условию
$$S_{ABCC_1}=S_{CC_1D}.$$
Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CDH$$
$$\sin 60^\circ=\frac{CH}{CD}=\frac{CH}{4\sqrt7},$$
откуда
$$CH=4\sqrt7\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt{21}\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{8+16}{2}\cdot 2\sqrt{21}=24\sqrt{21}\text{ см}^2.$$
Так как площади двух частей равны, то
$$S_{CC_1D}=\frac12 S_{ABCD}=12\sqrt{21}\text{ см}^2.$$
С другой стороны,
$$S_{CC_1D}=\frac12\cdot CH\cdot C_1D,$$
значит
$$12\sqrt{21}=\frac12\cdot 2\sqrt{21}\cdot C_1D,$$
откуда
$$C_1D=12\text{ см}.$$
Теперь найдём длину отрезка $$C_1C$$ по теореме косинусов в треугольнике $$CC_1D$$:
$$(CC_1)^2=CD^2+C_1D^2-2\cdot CD\cdot C_1D\cdot \cos 60^\circ$$
$$(CC_1)^2=(4\sqrt7)^2+12^2-2\cdot 4\sqrt7\cdot 12\cdot \frac12 =112+144-48\sqrt7 =256-48\sqrt7.$$
Следовательно,
$$CC_1=\sqrt{256-48\sqrt7}=\sqrt{16(16-3\sqrt7)}=4\sqrt{16-3\sqrt7}\approx 11{,}35\text{ см}.$$
Ответ
$$S_{ABCD}=24\sqrt{21}\text{ см}^2,\quad CC_1\approx 11{,}35\text{ см}.$$
