Упр.1069 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

Подробный ответ

1. Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0), \quad B(a;0), \quad a=AB.$$

Пусть $$M(x;y)$$ — произвольная точка искомого множества. Тогда

$$AM=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad BM=\sqrt{(x-a)^2+y^2}.$$

По условию $$AM=2BM$$, значит

$$x^2+y^2=4\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+y^2=4x^2-8ax+4a^2+4y^2,$$
$$3x^2-8ax+4a^2+3y^2=0,$$
$$\left(x-\frac{4}{3}a\right)^2+y^2=\left(\frac{2}{3}a\right)^2.$$

Следовательно, множество всех таких точек — окружность с центром в точке $$C\left(\frac{4}{3}a;0\right)$$ и радиусом $$R=\frac{2}{3}a.$$

2. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$ и $$AC=BC.$$ Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, проведённые из вершин острых углов.

Обозначим $$BC=CA=2a.$$ Тогда удобно ввести координаты:

$$C(0;0), \quad A(2a;0), \quad B(0;2a).$$

Точки середины сторон:

$$A_1\left(0;a\right), \qquad B_1\left(a;0\right).$$

Направляющие векторы медиан:

$$\overrightarrow{CA_1}=(-2a;a), \qquad \overrightarrow{BB_1}=(a;-2a).$$

Найдём косинус угла между ними:

$$\cos \varphi=\frac{\overrightarrow{CA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{CA_1}|\cdot |\overrightarrow{BB_1}|}= \frac{(-2a)\cdot a+a\cdot(-2a)}{\sqrt{(-2a)^2+a^2}\cdot \sqrt{a^2+(-2a)^2}}= \frac{-4a^2}{5a^2}=-\frac{4}{5}.$$

Это угол между самими прямыми медиан, а острый угол между ними равен

$$\varphi=180^\circ-\arccos\left(-\frac45\right)=\arccos\left(\frac45\right)\approx 36^\circ 51′.$$