Упр.1068 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) (x+2)^2+y^2=1 и x^2+y^2=4;
б) (x+3)^2+y^2=1 и x^2+y^2=4.
Количество общих точек:
а) (x+2)^2+y^2=1, x^2+y^2=4;
y^2=4-x^2, (x+2)^2+4-x^2=1;
x^2+4x+4+4-x^2=1, 4x=-7;
x=-7/4, y^2=4-49/16=15/16>0;
Ответ: две точки.
б) (x+3)^2+y^2=1, x^2+y^2=4;
y^2=4-x^2, (x+3)^2+(4-x^2 )=1;
x^2+6x+9+4-x^2=1, 6x=-12;
x=-2, y^2=4-4=0, y=0;
Ответ: одна точка. При каком значении x векторы р = ха + 17b и q = 3a-b перпендикулярны, если |а| = 2, |b | = 5 и а b = 120°?

а) Найдём число общих точек окружностей

$$ (x+2)^2+y^2=1, \qquad x^2+y^2=4. $$

Из второго уравнения выразим $$y^2$$:

$$y^2=4-x^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ (x+2)^2+4-x^2=1 $$

$$ x^2+4x+4+4-x^2=1 $$

$$ 4x=-7,\qquad x=-\frac{7}{4}. $$

Тогда

$$ y^2=4-\left(-\frac{7}{4}\right)^2=4-\frac{49}{16}=\frac{15}{16}>0. $$

Значит, для найденного значения $$x$$ есть два значения $$y$$, следовательно, окружности имеют две общие точки.

б) Рассмотрим окружности

$$ (x+3)^2+y^2=1, \qquad x^2+y^2=4. $$

Снова выразим $$y^2$$ из второго уравнения:

$$y^2=4-x^2.$$

Подставим в первое:

$$ (x+3)^2+4-x^2=1 $$

$$ x^2+6x+9+4-x^2=1 $$

$$ 6x=-12,\qquad x=-2. $$

Тогда

$$ y^2=4-(-2)^2=4-4=0,\qquad y=0. $$

Получаем одну общую точку.

При каком значении $$x$$ векторы $$\vec p=x\vec a+17\vec b$$ и $$\vec q=3\vec a-\vec b$$ перпендикулярны

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec p\cdot \vec q=0.$$

Вычислим:

$$ \vec p\cdot \vec q=(x\vec a+17\vec b)\cdot(3\vec a-\vec b) $$

$$ =3x\,\vec a\cdot\vec a-x\,\vec a\cdot\vec b+51\,\vec b\cdot\vec a-17\,\vec b\cdot\vec b. $$

Так как $$|\vec a|=2$$, $$|\vec b|=5$$, $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ$$, то

$$ \vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2=4,\qquad \vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2=25, $$

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos120^\circ=2\cdot5\cdot\left(-\frac12\right)=-5. $$

Тогда

$$ \vec p\cdot\vec q=3x\cdot4-x(-5)+51(-5)-17\cdot25 $$

$$ =12x+5x-255-425=17x-680. $$

Из условия перпендикулярности:

$$ 17x-680=0, $$

$$ x=\frac{680}{17}=40. $$

Ответ

а) две точки; б) одна точка; $$x=40$$.