Упр.1067 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) x^2+y^2=9 и x^2+y^2=4;
б) (x-1)^2+y^2=1 и x^2+y^2=4. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах a = bp + 2q и b-р- 3 q, если |p| = 2корень2, |q| = 3 и pq = 45°.

Рассмотрим окружности:

а) $$x^2+y^2=9$$ и $$x^2+y^2=4.$$

У первой окружности центр $$O(0,0)$$ и радиус $$R_1=3$$, у второй — тот же центр $$O(0,0)$$ и радиус $$R_2=2$$. Значит, окружности имеют общий центр и не пересекаются, так как радиусы различны.

Следовательно, окружности концентрические, общих точек нет.

б) $$(x-1)^2+y^2=1$$ и $$x^2+y^2=4.$$

Первая окружность имеет центр $$O_1(1,0)$$ и радиус $$R_1=1$$, вторая — центр $$O_2(0,0)$$ и радиус $$R_2=2$$.

Найдём расстояние между центрами:

$$O_1O_2=1.$$

Так как $$O_1O_2=R_2-R_1=2-1=1,$$ то окружности касаются внутренним образом.

Найдём диагонали параллелограмма, построенного на векторах $$\vec a=5\vec p+2\vec q$$ и $$\vec b=\vec p-3\vec q,$$ если $$|\vec p|=2\sqrt2,$$ $$|\vec q|=3,$$ $$\angle(\vec p,\vec q)=45^\circ.$$

Диагонали параллелограмма равны векторам $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b.$$

Вычислим их длины.

1) Первая диагональ:

$$\vec a+\vec b=(5\vec p+2\vec q)+(\vec p-3\vec q)=6\vec p-\vec q.$$

Тогда

$$|\vec a+\vec b|^2=|6\vec p-\vec q|^2=36|\vec p|^2+|\vec q|^2-12|\vec p||\vec q|\cos45^\circ.$$

Подставим данные:

$$|\vec a+\vec b|^2=36\cdot 8+9-12\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=288+9-72=225.$$

Значит,

$$|\vec a+\vec b|=15.$$

2) Вторая диагональ:

$$\vec a-\vec b=(5\vec p+2\vec q)-(\vec p-3\vec q)=4\vec p+5\vec q.$$

Тогда

$$|\vec a-\vec b|^2=|4\vec p+5\vec q|^2=16|\vec p|^2+25|\vec q|^2+40|\vec p||\vec q|\cos45^\circ.$$

Подставим:

$$|\vec a-\vec b|^2=16\cdot 8+25\cdot 9+40\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=128+225+240=593.$$

Следовательно,

$$|\vec a-\vec b|=\sqrt{593}\approx 24{,}3.$$

Ответ

а) окружности концентрические, общих точек нет; б) окружности касаются внутренним образом; диагонали параллелограмма: $$15$$ и $$\sqrt{593}\approx 24{,}3.$$