Упр.1063 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите ординату точки $$M$$, лежащей на прямой $$AB$$, если известно, что $$A(-8;-6)$$, $$B(-3;-1)$$ и абсцисса точки $$M$$ равна $$5$$.
- Найдите биссектрису $$AD$$ треугольника $$ABC$$, если угол $$A = \alpha$$, $$AB = c$$, $$AC = b$$.
Пусть $$\angle A=\alpha.$$ Тогда площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:
$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}.$$
С одной стороны,
$$S_{ABC}=\frac12 ab\sin\alpha.$$
С другой стороны, так как $$AD$$ — биссектриса, то $$\angle BAD=\angle DAC=\frac{\alpha}{2},$$ и
$$S_{ABD}=\frac12 \cdot c \cdot AD \cdot \sin\frac{\alpha}{2},$$
$$S_{ADC}=\frac12 \cdot b \cdot AD \cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$
Тогда
$$\frac12 ab\sin\alpha=\frac12 c\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}+\frac12 b\cdot AD\cdot \sin\frac{\alpha}{2}.$$
Умножим на $$2$$ и вынесем $$AD\sin\frac{\alpha}{2}$$ за скобки:
$$ab\sin\alpha=AD\left(c+b\right)\sin\frac{\alpha}{2}.$$
Так как $$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2},$$ получаем
$$ab\cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=AD\left(c+b\right)\sin\frac{\alpha}{2}.$$
Сократим на $$\sin\frac{\alpha}{2}$$:
$$AD=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$
Ответ
$$AD=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}.$$
